Page 176 - Una innovación a la mecánica cuántica

por segunda vez; es decir, obtener la hessiana, y para que sea mínimo el
error, esta matriz tiene que ser positiva definida.

Nótese que β es un vector, no es un escalar, no obstante, en este caso las
reglas de derivación son muy parecidas, así que tendríamos:

De aquí, se despeja β y se tiene:

β=(X X) X Y
–1
T
T
La matriz (X X) siempre existirá si se cumple que siempre haya más filas
T
–1
que columnas; es decir, tenga rango k+1 y sean linealmente independientes,
e igualmente se cumple para la matriz (X X).
T
Ahora bien, tenemos que asegurarnos que β sea mínimo, y para ello se
obtiene la segunda derivada y después de un manejo algebraico se tiene:

Entonces se concluye que para que sea un error cuadrático mínimo,
basta con que se cumpla que la matriz (X X) sea positiva definida y aquí
T
precisamente se aplica el método de González.

Adicionalmente, se puede ver que esta matriz no depende de β, y por lo
tanto, se puede garantizar que la función es convexa en todas partes y que
el mínimo no es relativo sino absoluto o global.

En resumidas cuentas, obtuvimos la expresión que permite obtener el valor
mínimo de β:

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