Page 108 - Una innovación a la mecánica cuántica

dependiendo de cuántas veces se aplicó la transformación lineal
propuesta por el autor. Esto es porque en la primera se aplicó
el mayor número de veces, y en la última, sólo una vez, por lo
que en las intermedias se aplicó un valor intermedio entre n–1
y 1. En estas ramas sí existen, al igual que en la primera rama,
nodos intermedios formados por submatrices con elementos que
están constituidos por determinantes de diversas dimensiones,
dependiendo de cuántas veces se ha aplicado la transformación
lineal propuesta por el autor en todos y cada uno de ellos, por lo
que hay que llevar la cuenta de las mismas.

Una vez que se hacen todas las transformaciones y particiones posibles, se
procede a obtener todos los elementos de las diagonales de las submatrices
con una transformación, de cualquiera de las ramas en donde exista, lo que
representa todos los posibles determinantes de tamaño 2 generados por
este método. El conjunto de los mismos, son todos los menores principales
de tamaño 2 de la matriz original. Asimismo, si estos elementos se suman;
es decir, se obtiene la denominada traza de las submatrices generadas
por la transformación aplicada una sola vez, entonces se obtiene el tercer
coeficiente del polinomio característico de la matriz original, ya que el
primer coeficiente es unitario por ser mónico el polinomio, y el segundo
corresponde a la traza de la matriz original misma, o sea, a la suma de los
determinantes de orden 1, que no es otra cosa sino los mismos elementos
originales de la diagonal principal de la matriz inicial, y que no han sido
objeto de ninguna transformación, por lo que se toman tal cual de los datos
iniciales (véase ejemplo para matriz de tamaño 3 indicado más abajo).

De la misma manera se procede para el caso de 2 transformaciones, lo
que representa todos los posibles determinantes de tamaño 3 generados
por este método. El conjunto, representa todos los menores principales
de tamaño 3 de la matriz original. Ahora bien, si se obtienen las trazas, se
obtendría el cuarto coeficiente del polinomio característico de la matriz
original. Así se procede en forma sucesiva, hasta que se obtiene el último
coeficiente del polinomio y que corresponde al final de la primera rama,
o sea, el determinante de la matriz original, y a su vez el menor principal
de tamaño n según se indica en el ejemplo para una matriz de tamaño 3.

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