Page 193 - Una innovación a la mecánica cuántica

Supongamos que el agente de mercado puede decidir entre N activos
diferentes, de los cuales se conocen los valores de los rendimientos durante
T días consecutivos. Denotemos por Q= . Entonces cuando Q 0
deberiamos esperar que los estimadores de las matrices de varianzas y
covarianzas fueran buenos. Ese es básicamente el contenido del trabajo de
Marchenko y Pastur.

Denotemos por {λ ,…, λ } el conjunto de eigenvalores de la matriz de
N
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varianzas y covarianzas empírica S. Definimos la función de distribución
acumulada empírica de los eigenvalores F (x) como sigue:

O sea, es un cociente entre el número de eigenvalores que son menores o
iguales a un valor x entre el número de activos financieros que forman el
portafolio.

Proposición: sea Q= y σ (π) la varianza de los rendimientos común a todos
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los activos. Entonces si Q= ≤1 la distribución F (x) queda definida por su

función de densidad de probabilidades:

En donde:

A la distribución anterior se le llama distribución Marchenko Pastur. A
partir de lo anterior, puede obtenerse el siguiente:

Supongamos que el conjunto de los rendimientos {R,…, R }; t=1,…, T
de los activos bajo estudio son variables aleatorias iid (independientes e
idénticamente distribuidas), con media 0 y varianza σ .
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